傅里叶变换
傅里叶变换是一个重要的数学工具，它可以把一个非周期函数表示为一组正弦和余弦函数的连续积分。
对于一个周期信号 \(f(t)\) ，设其周期为 \(T\) ，则其角频率为 \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) ，此时 \(f(t)\) 包含的频率分量为 \(\omega\) 的整数倍，在频谱上表现为一个个离散的谱线。当 \(T \to \infty\) 时，\(\omega \to 0\) ，频率分量变为连续的，频谱上表现为一个个连续的谱线。同时，当 \(T \to \infty\) 时，\(f(t)\) 变为一个非周期信号。
\(f(t)\) 的谱系数（即各个频率分量的系数）为：
\[ F(n\omega) = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) e^{-jn\omega t} \, dt \]
显然，当 \(T \to \infty\) 时，\(F(n\omega)\) 趋于 0 。所以，如果我们对非周期函数 \(f(t)\) 进行傅里叶变换，能得到连续谱，但其幅度无限小。虽然各个频率分量的幅度无限小，但它们之间仍存在相对大小。所以我们引入频谱密度函数。
我们考虑：
\[ T F(n\omega) = \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) e^{-jn\omega t} \, dt \]
而且，
\[ T F(n\omega) = \frac{F(n\omega)}{\frac{1}{T}} = \frac{F(n\omega)}{f} \]
由此可见，\(T F(n\omega)\) 表征着单位频带上的频谱值。因此我们可以把 \(T F(n\omega)\) 看作是一个频谱密度函数，并记 \(F(jn\omega) = T F(n\omega)\)。
由傅里叶级数的定义，我们可以得到：
\[ \begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n\omega) e^{jn\omega t}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{F(jn\omega)}{T} e^{jn\omega t}\\ \end{aligned} \]
当 \(T \to \infty\) 时，\(\Delta(n\omega) = \omega \to d\omega\) ，\((n\omega) \to \omega\) ，所以：
\[ \begin{aligned} \lim_{T \to \infty} f(t) &= \lim_{T \to \infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(jn\omega) \frac{\omega}{2\pi} e^{jn\omega t}\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega\\ \end{aligned} \]
至此，我们就推导出了傅里叶变换的公式：
\[ F(jw) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
傅里叶逆变换的公式为：
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
\(F(j\omega)\) 有时也简写为 \(F(\omega)\) 。
傅里叶变换的物理意义
由于 \(f(t)\) 是实函数，所以 \(F(\omega)\) 满足共轭对称性 \(F(-\omega)=\overline{F(\omega)}\)，即 \(|F(\omega)|\) 关于 \(\omega\) 为偶函数、\(\phi(\omega)\) 为奇函数。于是 \(f(t)\) 的被积函数虚部关于 \(\omega\) 为奇函数，在整个实轴上积分为零，因此可以略去。
\[ \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)| cos(\omega t + \phi(\omega)) d\omega + j \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)| sin(\omega t + \phi(\omega)) d\omega\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)| cos(\omega t + \phi(\omega)) d\omega \end{aligned} \]
所以我们得到：
这表明：一个非周期信号 \(f(t)\) 可以看作是无穷多个振幅无穷小的连续余弦信号之和。
常见信号的傅里叶变换
矩形信号
\[ \begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} E e^{-j\omega t} dt\\ &= \frac{E}{-j\omega} e^{-j\omega t} \bigg|_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\\ &= \frac{E}{-j\omega} \left( e^{j\frac{-\omega\tau}{2}} - e^{j\frac{\omega\tau}{2}} \right)\\ &= \frac{E}{j\omega} \cdot 2j \sin\left( \frac{\omega\tau}{2} \right)\\ &= \frac{2E}{\omega} \sin\left( \frac{\omega\tau}{2} \right)\\ &= E\tau \cdot \frac{\sin\left( \frac{\omega\tau}{2} \right)}{\frac{\omega\tau}{2}}\\ &= E\tau \cdot Sa(\frac{\omega\tau}{2}) \end{aligned} \]
其中 \(Sa(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) 。
单位冲激信号
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j\omega t} dt = 1 \]
实际上，\(\delta(t)\) 可以看作 \(\tau \times \frac{1}{\tau}\) 的矩形脉冲，且 \(\tau \to 0\) 。
直流信号
直流信号可以看作是一个矩形脉冲，只不过 \(\tau \to \infty\) 。
\[ \begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} E \delta(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \lim_{\tau \to \infty} \int_{-\tau}^{tau} E e^{-j\omega t} dt\\ &= E \lim_{\tau \to \infty} \frac{2sin(\omega\tau)}{\omega}\\ &= 2 \pi E \delta(\omega) \end{aligned} \]
这里我们用到了 \(\lim_{\tau \to \infty} \frac{\sin(\omega \tau)}{\pi \omega} = \delta(\omega)\) ，这里我们就不加证明的使用了。
傅里叶变换的性质
当 \(f(t)\) 为实函数时：
\[ \begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \left( \cos(\omega t) - j\sin(\omega t) \right) dt\\ &= R(\omega) - jI(\omega)\\ \end{aligned} \]
我们记：\(F(\omega) = |F(\omega)| e^{j\phi(\omega)}\) 。
那么不难得到：
\(|F(\omega)|\) 是关于 \(\omega\) 的偶函数。
\(\phi(\omega) = -arctan\frac{I(\omega)}{R(\omega)}\) 是关于 \(\omega\) 的奇函数。
除此以外，傅里叶变换还具有以下基本性质：
线性性质
\[ a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \leftrightarrow a_1F_1(\omega) + a_2F_2(\omega) \]
时移性质
若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\) ，则：\(f(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega)\)
频移性质
若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\) ，则：\(f(t)e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow F(\omega - \omega_0)\)
频域缩放性质
若 \(f(t) \leftrightarrow F(\omega)\) ，则：\(f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F\left( \frac{\omega}{a} \right)\)
卷积定理
若 \(f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega)\) ，\(f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)\) ，则：
\[ f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) \]
\[ f_1(t) \cdot f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega) \]
离散时间傅里叶变换
上述考虑的是连续时间下的傅里叶变换。我们现在考虑离散时间下的傅里叶变换。
对于非周期信号 \(x(n)\) 的离散时间傅里叶变换（DTFT）为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \]
这里 \(X(e^{j\omega})\) 是一个复数函数，称为频谱。它是一个周期为 \(2\pi\) 的周期函数。
离散时间傅里叶变换的逆变换为：
\[ x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega \]
DTFT 性质
离散时间傅里叶变换具有以下性质（与连续时间傅里叶变换类似）：
- 线性性质
\[ a_1x_1(n) + a_2x_2(n) \leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega}) + a_2X_2(e^{j\omega}) \]
时移性质
若 \(x(n) \leftrightarrow X(e^{j\omega})\) ，则：\(x(n - n_0) \leftrightarrow e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})\)
频移性质
若 \(x(n) \leftrightarrow X(e^{j\omega})\) ，则：\(x(n)e^{j\omega_0 n} \leftrightarrow X(e^{j(\omega - \omega_0)})\)
卷积性质
若 \(x_1(n) \leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\) ，\(x_2(n) \leftrightarrow X_2(e^{j\omega})\) ，则：
\[ x_1(n) * x_2(n) \leftrightarrow X_1(e^{j\omega}) \cdot X_2(e^{j\omega}) \]
\[ x_1(n) \cdot x_2(n) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(e^{j\omega}) * X_2(e^{j\omega}) \]
离散傅里叶变换
当我们使用计算机进行数字信号处理时：
计算机只能处理有限个数据点。
计算机只能处理有限个频率分量。
所以，在实际应用中，我们一定是对离散时间，且有限长度的信号进行傅里叶变换。我们称之为离散傅里叶变换（DFT）。
需要先指出的是，离散傅里叶变换（DFT）是对离散时间傅里叶变换（DTFT）的一个近似。DFT 是对 DTFT 的一个有限采样。
DTFT 是一个连续的函数，而无限多个频率分量无法被计算机存储。而 DFT 是一个离散的函数。
DFT 的定义为：
- 将有限长序列 \(x(n)\) ，\(n = 0, 1, \cdots, N - 1\) ，拓展成周期函数 \(\tilde{x}(n)\) 。
\[ \tilde{x}(n) = \sum_{r=-\infty}^{\infty} x(n+rN) = x((n))_{N}\ , \quad ((n))_{N} = n \mod N \]
- 计算 DFT：
\[ \begin{aligned} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} \quad (k = 0, 1, \cdots, N - 1)\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x(n) W_N^{nk} \quad (W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}\ \text{为N阶单位根}) \end{aligned} \]
- 计算 IDFT：
\[ \begin{aligned} x(n) &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}nk} \quad (n = 0, 1, \cdots, N - 1)\\ &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_N^{-nk} \end{aligned} \]
DFT 性质
DFT 具有以下性质：
- 线性
\[ ax_1(n) + bx_2(n) \leftrightarrow aX_1[k] + bX_2[k] \]
- 对称性
设 \(x(n)\) 是长度为 \(N\) 的是序列，则：
\[ X[k] = X^*[N - k] \quad (k = 0, 1, \cdots, N - 1) \]
其中 \(X^*\) 是 \(X\) 的共轭。
- 圆周移位
\[ x((n - n_0))_N \leftrightarrow X[k] W_N^{-kn_0} \quad (n_0 = 0, 1, \cdots, N - 1) \]
- 圆周卷积
设 \(x(n)\) 和 \(h(n)\) 是长度为 \(N\) 的序列，则：
\[ y(n) = x(n) * h(n) = \left[\sum_{m=0}^{N-1} \tilde{h}(m) \tilde{x}(n - m)\right] R_N(n) \]
其中 \(R_N(n)\) 是长度为 \(N\) 的矩形波。
总结
在此，我们对各种傅里叶级数、变换做个总结。
傅里叶级数用于处理周期信号，可以分为
连续时间傅里叶级数（CTFS）
离散时间傅里叶级数（DTFS）
傅里叶变换用于处理非周期信号，可以分为
连续时间傅里叶变换（CTFT）
离散时间傅里叶变换（DTFT）
那么，聪明如你可能会问：离散傅里叶变换（DFT）是什么呢？
离散傅里叶变换（DFT）在延拓后是一个周期信号，所以 DFT 本质上是 DFS 。
由于：周期函数分解的正弦波线性组合，各个频率分量都是 \(\omega\) 的整数倍，所以：
傅里叶级数的结果是离散的。（或者说，周期函数的频谱是离散的）
傅里叶变换的结果是连续的。（或者说，非周期函数的频谱是连续的）
频率响应
先看一个最简单的输入，复指数 \(x(n)=e^{j\omega n}\)，我们试问：这个复指数经过 LTI 系统后，输出如何？把 \(x(n)=e^{j\omega n}\) 代入 \(y=x*h\)
\[ \begin{aligned} y(n) &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,x(n-k)\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,e^{j\omega(n-k)}\\ &=e^{j\omega n}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,e^{-j\omega k} \end{aligned} \]
注意到最后一行：
前面那个因子 \(e^{j\omega n}\) 就是输入 \(x(n)\)
后面那串 \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,e^{-j\omega k}\) 和 \(n\) 一点关系都没有，它只取决于频率 \(\omega\)。
我们记
\[ H(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,e^{-j\omega k} \]
那么
\[ y(n)=H(e^{j\omega})\,e^{j\omega n}=H(e^{j\omega})\,x(n) \]
也就是：复指数输入，输出仍然是同一个复指数，频率 \(\omega\) 不变，只是被乘上了一个复数 \(H(e^{j\omega})\)。对于一个给定的频率 \(\omega\)，\(H(e^{j\omega})\) 是常数。换言之，复指数经过 LTI 系统，频率不变，只是幅值和相位变化了。
那推广到任意信号 \(x(n)\)，经过 LTI 系统后，输出如何呢？根据 DTFT 的逆变换，任意信号 \(x(n)\) 可以写成复指数的”连续加权和”：
\[ x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})\,e^{j\omega n}\,d\omega \]
这个式子的含义是：\(x(n)\) 由无穷多个不同频率 \(\omega\) 的复指数 \(e^{j\omega n}\) 叠加而成。而
\[ \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})d\omega\]
就是频率 \(\omega\) 那一个分量的权重。因为系统是线性的，总输出就是把所有这些分量（对所有 \(\omega\)）的输出叠加起来。上面复指数的例子告诉我们，复指数 \(e^{j\omega n}\) 经系统只是乘 \(H(e^{j\omega})\)，则其输出为
\[ \left[\frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\,d\omega\;\right]H(e^{j\omega})e^{j\omega n} \]
我们把各个频率分量 \(\omega\) 叠加起来，也即是求积分：
\[ y(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\,e^{j\omega n}\,d\omega \]
这个式子的结构正好就是 DTFT 的逆变换 \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cdot)\,e^{j\omega n}d\omega\)。也就是说，\(X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\) 正是 \(y(n)\) 的频谱：
\[ Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]
这就是卷积定理。
一个时域的无穷卷积 \(y=x*h\)，在频域只是一次乘法。
为什么频域更省事？时域要算逐项相乘再求和的无穷卷积；频域只要——把 \(x(n)\)、\(h(n)\) 分别做 DTFT 得 \(X\)、\(H\)，两者相乘得 \(Y\)，再对 \(Y\) 做一次逆变换，就还原出 \(y(n)\)。三步都是熟面孔，运算也简单。
卷积定理还有一种更代数的证明：直接从 \(y(n)\) 的频谱定义出发，代入卷积、交换求和。
\[ \begin{aligned} Y(e^{j\omega}) &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}y(n)\,e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,x(n-k)\right]e^{-j\omega n} \quad \text{let } m = n-k\\ &=\left[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)e^{-j\omega k}\right]\left[\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x(m)e^{-j\omega m}\right]\\ &=H(e^{j\omega})\,X(e^{j\omega}) \end{aligned} \]
殊途同归，都是 \(Y=XH\)。
上面那个”和 \(n\) 无关、只取决于 \(\omega\)“的常数 \(H(e^{j\omega})\)，因为它决定了系统对每个频率分量分别做多大的缩放和相移，我们给它一个名字：频率响应。
\[ H(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)\,e^{-j\omega k} \]
注意右式，它就是冲激响应 \(h(n)\) 的离散时间傅里叶变换（DTFT）。所以：
频率响应，就是冲激响应的频谱。
于是，时域和频域其实是同一个 LTI 系统的两种等价描述：
| 角度 | 用哪个量 | 回答的问题 |
|---|---|---|
| 时域 | 冲激响应 \(h(n)\) | “给一个脉冲，系统怎么响应” |
| 频域 | 频率响应 \(H(e^{j\omega})\) | “对各个频率分量，系统分别怎么缩放/相移” |
把两种角度串起来的，正是这座桥：
\[ H(e^{j\omega})=\mathrm{DTFT}\{h(n)\} \]