采样
我们以声音信号处理为例。当我们说话后，声音信号会在空气中传播，经过麦克风转换为电信号。这个电信号是一个连续的模拟信号。模拟信号在时间和幅度上都是连续的。计算机无法处理连续值，只能处理有限个离散值。因此，我们需要将模拟信号转换为数字信号，也就是采样。
当然，采样只能实现时间上的离散化，幅度上仍然是连续的。为了将幅度也离散化，我们还需要量化。但这都是后话了。
在某些离散时间点上提取连续时间信号值的过程称为采样。
采样的数学模型
在时域上，采样后的信号 \(x_p(t)\) 是原信号 \(x(t)\) 与采样函数 \(p(t)\) 的乘积。
\[ x_p(t) = x(t) \cdot p(t) \]
对其做傅里叶变换，得到频域上的采样信号 \(X_p(j\omega)\) 。
\[ X_p(j\omega) = \frac{1}{2\pi} X(j\omega) * P(j\omega) \]
其中 \(P(j\omega)\) 是采样函数的傅里叶变换。
自然采样
在实际中，采样函数 \(p(t)\) 通常是一个矩形脉冲函数。我们称这种采样方式为自然采样。
\[ p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} R_{\tau}\left(\frac{t - nT}{\tau}\right) \]
其中 \(R_{\tau}(t)\) 是一个宽度为 \(\tau\) 高度为 1 的矩形脉冲函数。
则采样后的信号为：
\[ \begin{aligned} x_p(t) &= x(t) \cdot p(t)\\ &= x(t) \left( \frac{\tau}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{k\omega_s\tau}{2}) e^{jk\omega_s t} \right)\\ &= \frac{\tau}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{k\omega_s\tau}{2}) \cdot x(t) e^{jk\omega_s t}\\ \end{aligned} \]
其中 \(T_s\) 是采样周期，\(\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}\) 是采样频率。
由于：傅里叶变换具有线性和频移性质
\[ \begin{aligned} X_p(j\omega) &= \mathcal{F}(x_p(t))\\ &= \mathcal{F}\left( \frac{\tau}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{k\omega_s\tau}{2}) \cdot x(t) e^{jk\omega_s t} \right)\\ &= \frac{\tau}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{k\omega_s\tau}{2}) \cdot \mathcal{F}(x(t) e^{jk\omega_s t})\\ &= \frac{\tau}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{k\omega_s\tau}{2}) \cdot X(\omega - k\omega_s)\\ \end{aligned} \]
显然，自然采样下的幅度谱与原信号的幅度谱不是完全一致的，由于 \(Sa\) 函数的存在，频谱幅度衰减了。
理想采样
如果 \(p(t)\) 能每个采样点都准确地取到 \(x(t)\) 的值，那么 \(p(t)\) 就是一个个冲激函数的叠加。
\[ p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \]
其中 \(T\) 是采样周期。那么：
\[ x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \delta(t - nT) \]
类似的，我们不难得到 \(x_p(t)\) 的频谱：
\[ X_p(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(\omega - k\omega_s) \]
所以，采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓。
时域采样定理
在理想采样下，采样后的频谱是原信号频谱的周期延拓。但是只要原信号的频谱延拓之后不重叠，那么我们就可以通过滤波器将采样后的频谱恢复为原信号的频谱。
由于实信号的频谱是对称的，所以我们设原信号的最大频率为 \(\omega_M\) ，采样频率为 \(\omega_s\) 。由上图，为了不重叠，显然需要 \(\omega_s \geq 2\omega_M\) 。也就是采样频率至少是原信号带宽的两倍。
这就是著名的采样定理。
Nyquist 采样定理表述如下：
当 \(\omega_M \leq \frac{\omega_s}{2}\) 时，实信号 \(x(t)\) 频谱采样之后不会发生重叠，可以用理想低通滤波器取出该信号。
需要注意的是，采样定理并不是充要条件。也就是说，\(\omega_s < 2\omega_M\) 时，也可能不会发生重叠。
比如，对于实值带通信号 \(x(t)\) ，假设：
带宽 \(B = f_2 - f_1\)
中心频率 \(f_c = \frac{f_1 + f_2}{2}\)
如果 \(f_c > \frac{B}{2}\) ，且 \(f_2\) 是带宽 \(B\) 的整数倍，则当采样频率 \(f_s = 2B\) 时，采样后的频谱不会发生混叠。
所以，采样定理的实质是：原信号在采样后，周期延拓之后，选取合适的采样频率，使得频谱不会发生重叠。
频域采样
连续时间信号的傅里叶变换（FT）或离散时间信号的DTFT（离散时间傅里叶变换）的频谱是连续的，但是计算机只能处理离散数据。因此，我们需要对频谱进行采样。频域采样的过程称为频域采样。
设连续信号 \(f(t) \xrightarrow{FT} F(\omega)\) ，其频谱 \(F(\omega)\) 是连续的。
若我们知道完整的频谱 \(F(\omega)\) ，则毫无疑问地，我们可以复原出原信号 \(F(\omega) \xrightarrow{IFT} f(t)\) 。
但是，计算机只能处理有限个离散值，因此我们已知的频谱一定是采样后的离散值 $ F_1() = F() _{_1}()$ 。
其中，
\(\omega_1\) 是采样频率
理想采样信号： \[ \delta_{\omega_1}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - n\omega_1) \xrightarrow{IFT} \frac{1}{\omega_1} \delta_{T_1}(t) \]
其中 \(\delta_T(t)\) 是时域中以 \(T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}\) 为周期的冲激串：
\[ \delta_{T_1}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT_1) \]
因此，我们有：
\[ F_1(\omega) = F(\omega) \cdot \delta_{\omega_1}(\omega) \xrightarrow{IFT} f_1(t) = f(t) * \delta_T(t) \]
那么，
\[ \begin{aligned} f_1(t) &= f(t) * \frac{1}{\omega_1} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT_1)\\ &= \frac{1}{\omega_1} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(t - kT_1) \end{aligned} \]
其中 \(T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}\) 是采样周期。
也就是：采样后的信号 \(f_1(t)\) 是原信号 \(f(t)\) 的周期延拓。
频域采样，时域上周期延拓。
时域采样，频域上周期延拓。
频域采样定理
我们假设 \(f(t)\) 是一个时限信号。也就是：\(|t| > T_0\) 时 \(f(t)=0\) 。
与时域上的采样定理类似，其本质也是为了避免信号混叠。所以，
\[ 2 T_0 \leq T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} \]
也就是：
\[ \omega_1 \leq \frac{\pi}{T_0} \]
这就是频域采样定理。
频域采样定理表明：频域采样间隔不能超过 \(\pi/T_0\) 。