Z变换
一个序列 \(x(n)\) 的离散时间傅里叶变换（DTFT）为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)e^{-j\omega n} \]
上式收敛条件之一是序列 \(x(n)\) 必须是绝对可和的，即：
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)| < +\infty \]
然而在实际应用中，许多序列不是绝对可求和的，因此不能进行离散时间傅里叶变换。为此，我们引入了 Z 变换，用以处理非绝对可求和的序列。
给定 \(x(n)\) ，其 Z 变换定义如下：
双边 Z 变换：
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]
单边 Z 变换：
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]
令 \(z = re^{j\omega}\) ，那么：
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)r^{-n}e^{-j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [x(n)r^{-n}]e^{-j\omega n} \]
我们可以将 \(x(n)r^{-n}\) 看作一个新的序列 \(y(n)\) ，则原序列 \(x(n)\) 的 Z 变换可以看作是序列 \(y(n)\) 的离散时间傅里叶变换（DTFT）。
由 DTFT 的收敛条件可知，\(X(z)\) 收敛的条件是序列 \(y(n)=x(n)r^{-n}\) 必须是绝对可和的。
收敛域
对任意给定序列 \(x(n)\) ，使其 Z 变换收敛的所有 Z 值的结合称为收敛域（ROC）。
Z 变换存在的条件是级数绝对可和，即：
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)z^{-n}| < +\infty \]
满足上述不等式的 \(z\) 的取值范围称为收敛域（ROC）。
通常来说：
对于因果序列，其 Z 变换的收敛域 ROC 为某个圆外区域，含 \(\infty\) ，不含0。
对于反因果序列，其 Z 变换的收敛域 ROC 为某个圆内区域，含0（即原点），不含 \(\infty\) 。
对于双边序列，其 Z 变换的收敛域为环状区域，不含 \(\infty\) ，不含0。
在之后的例子中会体现这些结论。
零点与极点
常用的 Z 变换是有理函数，我们可以将其写为两个多项式之比：
\[ X(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} \]
零点：\(P(z)\) 的根。
极点：\(Q(z)\) 的根。
我们注意到，在极点处 Z 变换不存在，因此收敛域不包括极点，收敛域总是用极点限定其边界的。
例 1
考虑如下序列的 Z 变换及其收敛域：
\[ x[n] = \alpha^n u[n] \]
则 Z 变换为：
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{\alpha}{z})^n \]
当 \(|\frac{\alpha}{z}| < 1\) 时，级数收敛，$X(z) = $ ，收敛域为 \(|z| > |\alpha|\) 。
例 2
考虑如下序列的 Z 变换及其收敛域：
\[ x[n] = -\alpha^n u[-n-1] \]
则 Z 变换为：
\[ X(z) = -\sum_{n=-\infty}^{-1} \alpha^n z^{-n} = -\alpha^{-1} z \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha^{-n} z^{n} \]
当 \(|\alpha^{-1}z| < 1\) 时，级数收敛，
\[ X(z) = -\frac{-\alpha^{-1}z}{1-\alpha^{-1}z} = \frac{1}{1-\alpha z^{-1}} \]
收敛域为 \(|z| < |\alpha|\) 。
从例 1 和例 2 中我们可以看出，不同的 \(x(n)\) 可能有相同的 Z 变换，但收敛域不同。为了保证由逆 Z 变换求出的序列是唯一的，我们必须指明收敛域。
例 3
考虑如下序列的 Z 变换及其收敛域：
\[ x(n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n] - 2^{n} u[-n-1] \]
则 Z 变换为：
\[ \begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n z^{-n} - \sum_{n=-\infty}^{-1} 2^{n} z^{-n}\\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} + \frac{1}{1-2z^{-1}}\\ \end{aligned} \]
收敛域为 \(\frac{1}{2} < |z| < 2\) 。
一般情况下，双边序列 \(X(z)\) 的 ROC 是 z 平面上一个以原点为中心的圆环。
常用 Z 变换
\(\delta[n]\)
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta[n]z^{-n} = 1 \]
\(u[n]\)
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{1}{1-z^{-1}} \quad (|z| > 1) \]
\(nu[n]\)
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} n z^{-n} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} \quad (|z| > 1) \]
\(\alpha^n u[n]\)
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \alpha^n z^{-n} = \frac{1}{1-\alpha z^{-1}} \quad (|z| > |\alpha|) \]
\(n \alpha^n u[n]\)
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} n \alpha^n z^{-n} = \frac{\alpha z^{-1}}{(1-\alpha z^{-1})^2} \quad (|z| > |\alpha|) \]
\(u[-n-1]\)
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} \quad (|z| < 1) \]
\(-\alpha^{n} u[-n-1]\)
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} -\alpha^{n} z^{-n} = \frac{1}{1-\alpha z^{-1}} \quad (|z| < |\alpha|) \]
Z 反变换
Z 反变换是将 Z 变换的结果 \(X(z)\) 和 ROC 转换为时域序列 \(x(n)\) 的过程。
Z 反变换的有如下三种常见计算方法：
幂级数法
通过将 \(X(z)\) 展开为幂级数来求解。
\[ X(Z) = a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \cdots \]
显然，系数 \({a_0, a_1, a_2, \cdots}\) 就是序列 \(x(n)\) 。
部分分式法
将 \(X(z)\) 化为部分分式的形式，然后利用已知的 Z 变换表来求解。
\[ X(z) = \sum_{i} \frac{A_i}{1-a_i z^{-1}} \]
留数法
留数法是利用复变函数的留数定理来求解 Z 反变换。
\[ x(n) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \]
其中 \(C\) 是包含 ROC 的闭合曲线。
例 4
考虑如下 Z 变换：
\[ X(z) = \frac{3-\frac{5}{6}z^{-1}}{(1-\frac{1}{4}z^{-1})(1-\frac{1}{3}z^{-1})} \quad \frac{1}{4} < |z| < \frac{1}{3} \]
将 \(X(z)\) 进行裂项：
\[ X(z) = \frac{1}{1-\frac{1}{4}z^{-1}} + \frac{2}{1-\frac{1}{3}z^{-1}} \]
第一个分式的 ROC 为 \(|z| > \frac{1}{4}\) ，第二个分式的 ROC 为 \(|z| < \frac{1}{3}\) 。那么：
\[ x(n) = \frac{1}{4^n} u[n] - 2 \cdot \frac{1}{3^n} u[-n-1] \]
Z 变换的性质
设序列 \(x(n)\) 的双边 Z 变换为：
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]
Z 变换具有许多重要性质，其中线性、时间移位和时域卷积在离散时间系统分析中尤其重要。
线性
设：
\[ x_1(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X_1(z) \]
\[ x_2(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X_2(z) \]
根据 Z 变换的定义，我们有：
\[ \begin{aligned} \mathcal Z\{ax_1(n)+bx_2(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [ax_1(n)+bx_2(n)]z^{-n}\\ &= a\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_1(n)z^{-n} + b\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_2(n)z^{-n}\\ &= aX_1(z)+bX_2(z) \end{aligned} \]
则对于任意常数 \(a,b\) ，均有：
\[ \boxed{ ax_1(n)+bx_2(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) } \]
因此 Z 变换满足线性性质。其收敛域至少包含 \(X_1(z)\) 和 \(X_2(z)\) 收敛域的交集。若相加过程中发生零极点相消，实际收敛域可能进一步扩大。
时间移位
设：
\[ x(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X(z) \]
考虑将序列延迟 \(k\) 个采样点 \(x(n-k)\) ，其 Z 变换为：
\[ \mathcal Z\{x(n-k)\} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n-k)z^{-n} \]
令 \(m=n-k\) ，则：
\[ \begin{aligned} \mathcal Z\{x(n-k)\} &= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m)z^{-(m+k)}\\ &= z^{-k} \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m)z^{-m}\\ &= z^{-k}X(z) \end{aligned} \]
所以：
\[ \boxed{ x(n-k) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} z^{-k}X(z) } \]
因此，时域中的延迟对应 Z 域中乘以 \(z^{-k}\)。
这一性质在使用 Z 变换求解差分方程时非常重要，因为它可以把时域中的延迟项转换为 Z 域中的代数乘法。时间移位通常不会改变 ROC 的基本边界，但由于乘上了 \(z^{\pm k}\)，可能影响 \(z=0\) 或 \(z=\infty\) 是否属于 ROC。
时域卷积
设：
\[ x_1(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X_1(z) \]
\[ x_2(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X_2(z) \]
两个序列的离散卷积定义为：
\[ y(n) = x_1(n)*x_2(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_1(k)x_2(n-k) \]
对 \(y(n)\) 进行 Z 变换：
\[ \begin{aligned} Y(z) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(n)z^{-n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_1(k)x_2(n-k) \right]z^{-n}\\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_1(k) \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_2(n-k)z^{-n} \end{aligned} \]
根据前面的时间移位性质：
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_2(n-k)z^{-n} = z^{-k}X_2(z) \]
所以：
\[ \begin{aligned} Y(z) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_1(k)z^{-k}X_2(z)\\ &= X_2(z) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_1(k)z^{-k}\\ &= X_1(z)X_2(z) \end{aligned} \]
因此：
\[ \boxed{ x_1(n)*x_2(n) \overset{\mathcal Z}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) } \]
即：
时域中的卷积，对应 Z 域中的乘法。
其 ROC 至少包含 \(X_1(z)\) 与 \(X_2(z)\) 收敛域的交集；如果相乘后发生零极点相消，实际 ROC 可能更大。这一性质对于分析 线性时不变（LTI）系统尤其重要。
系统函数
对于一个离散时间 LTI 系统，设输入为 \(x(n)\)、输出为 \(y(n)\)，那么输入输出满足卷积关系 \(y(n)=x(n)*h(n)\)，其中 \(h(n)\) 是系统的单位脉冲响应。我们将 \(h(n)\) 的 Z 变换称为系统的系统函数（transfer function）：
\[ H(z)=\mathcal Z\{h(n)\}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)z^{-n} \]
由本章的时域卷积性质 \(Z\{x(n)*h(n)\}=X(z)H(z)\)，我们可得，输入输出的 Z 变换满足：
\[ Y(z)=X(z)H(z) \]
因此系统函数也可以写成输出与输入 Z 变换之比：
\[ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} \]
在本章开头我们提到，令 \(z=re^{j\omega}\)，\(X(z)\) 就相当于序列 \(x(n)r^{-n}\) 的 DTFT。当 \(r=1\)，也就是 \(z\) 落在单位圆上时，Z 变换就退化为 DTFT。因此，只要单位圆位于 \(H(z)\) 的收敛域（ROC）中，就能在单位圆上得到系统的频率响应：
\[ H(e^{j\omega})=H(z)\big|_{z=e^{j\omega}} \]
也就是说，系统函数 \(H(z)\) 在单位圆上的取值，就是系统的频率响应。这建立了 Z 平面上的零极点分布与频率响应之间的联系。不妨设：
\[ H(z)=K\frac{\prod_i(z-z_i)}{\prod_k(z-p_k)} \]
那么在单位圆 \(z=e^{j\omega}\) 上：
\[ |H(e^{j\omega})|=|K|\frac{\prod_i|e^{j\omega}-z_i|}{\prod_k|e^{j\omega}-p_k|} \]
其中 \(z_i\) 为零点，\(p_k\) 为极点。因此 \(|H(e^{j\omega})|\) 可以理解为：单位圆上的点 \(e^{j\omega}\) 到所有零点距离之积，与到所有极点距离之积的比值。于是：
- 当单位圆上的某一点靠近零点时，\(|H(e^{j\omega})|\) 会减小；
- 当单位圆上的某一点靠近极点时，\(|H(e^{j\omega})|\) 会增大。
这让我们可以直接通过零极点的位置大致判断系统的频率特性。例如：
\[ H(z)=\frac{1}{1-0.9z^{-1}}=\frac{z}{z-0.9} \]
其零点位于 \(z=0\)，极点位于实轴上的 \(z=0.9\)。当 \(\omega=0\) 时，单位圆上的点为 \(z=1\)，距离极点 \(0.9\) 很近，因此频率响应较大；而当 \(\omega=\pi\) 时，\(z=-1\)，距离极点较远，因此频率响应较小。所以该系统具有明显的低通特性。
零极点还与稳定性直接相关：对于一个因果系统（\(h(n)=0,\ n<0\)，ROC 为某个圆外区域），当且仅当其所有极点都位于单位圆内（\(|p_k|<1\)）时，系统是 BIBO 稳定的。